Comment préparer son premier DS de maths en ECG ?

Le premier DS (devoir surveillé) de maths en prépa ECG laisse souvent un mauvais souvenir. Les notes y sont en général bien plus basses qu'au lycée, alors même que vous travaillez deux fois plus, et beaucoup d'élèves en concluent un peu vite qu'ils ne sont pas au niveau. Or, un DS est un exercice à part entière : il se prépare dans les semaines qui précèdent, il se mène d'une certaine façon une fois le sujet sous les yeux, et la copie se reprend une fois corrigée. Comment aborder chacune de ces étapes ?

Comment se préparer avant le DS ?

Apprendre son cours par cœur

Sans connaître le cours, il est inutile de commencer à faire des exercices, et donc d'espérer quoi que ce soit d'un DS. En effet, les exercices sont pour l'essentiel une application méthodique du cours. Pour utiliser un théorème, vous devez l'énoncer en entier et citer ses hypothèses, ce qui suppose de connaître le cours par cœur et non à peu près (c'est d'ailleurs aussi ce que demande la question de cours en colle, comme on l'a vu dans Réussir sa première colle de maths en ECG). Certes, les questions les plus difficiles demandent de « voir le truc », et cela ne vient qu'avec la pratique, mais connaître son cours reste la condition nécessaire pour aborder tout le reste.

Comment l'apprendre ? Chacun sa méthode, tant que le cours est su. La plus honnête consiste à réciter le chapitre sur une feuille blanche, car vous voyez alors exactement quelles hypothèses vous manquent. Vous pouvez aussi faire, pour chaque chapitre, une fiche avec le plan du cours et les propriétés ou formules que vous oubliez tout le temps. Connaître le plan du cours permet, devant une question, de passer en revue les théorèmes du chapitre pour trouver celui qui s'applique. Quant à la fiche, elle se relit régulièrement, et en particulier avant le DS.

Refaire les exercices vus en classe

En début d'année, le plus utile est de refaire chaque soir les exercices traités en classe avec votre professeur, en soignant la rédaction et les connecteurs logiques. Mais attention ! Refaire un exercice de mémoire ne veut pas dire que vous l'avez compris. Le but est de retrouver la méthode et, si vous n'y arrivez pas, d'identifier pourquoi (cours mal su ? question mal comprise ?).

D'ailleurs, il vaut mieux ne pas multiplier les exercices lorsqu'ils reposent sur la même méthode, et passer plus de temps sur chacun. Donnez-vous un vrai temps de réflexion avant de regarder la correction, même si cela peut être frustrant au début.

Vous pouvez enfin tenir un carnet de méthodes, dans lequel vous notez les méthodes rencontrées et les exercices typiques. Ce sont les méthodes qu'il faut apprendre, et non les exercices eux-mêmes, sauf éventuellement les « classiques ».

Par où commencer le sujet ?

Commencez par parcourir le sujet en entier, afin de repérer sur quoi porte chaque exercice (algèbre, analyse, probabilités). La suite dépend de la forme du DS.

Si le DS comporte plusieurs exercices

Vous pouvez en général suivre l'ordre proposé, sauf si le premier exercice porte sur votre point faible. Dans ce cas, mieux vaut commencer par un autre. En effet, la réussite d'un DS dépend en partie de l'état d'esprit dans lequel vous le passez, et un élève qui commence par échouer perd confiance pour la suite. Commencer par une question réussie permet au contraire de garder cette confiance.

Prenons un DS de probabilités dont la première question demande de redémontrer l'inégalité de Markov, c'est-à-dire le résultat suivant : pour une variable aléatoire $X$ positive qui admet une espérance et pour tout réel $a > 0$,

$P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a}.$

Si la démonstration ne vous revient pas, rien ne vous oblige à rester dessus. Vous pouvez passer directement au second problème, ce qui vous évite de commencer le DS par un échec.

Le problème le plus difficile se garde quant à lui pour la fin.

Si le DS est un seul problème

Lisez attentivement l'introduction et les résultats admis avant de commencer. Pendant l'épreuve, regardez régulièrement les questions suivantes, qui montrent où le sujet veut en venir. Pensez également à aller voir la dernière partie, où figurent souvent des questions faciles !

Comment lire le sujet ?

Une bonne partie des réponses se trouve dans le sujet lui-même, à commencer par les notations, qui sont autant d'indices. En probabilités par exemple, une variable aléatoire notée $U$ suit souvent une loi uniforme, et une variable notée $T$ une loi géométrique.

S'y ajoute une « culture mathématique » qui s'acquiert au fil des sujets. On peut citer l'équivalent de Stirling,

$n! \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n,$

ou encore la matrice $J$, dont tous les coefficients valent 1. Connaître ces notations classiques fait gagner du temps, puisque vous savez d'avance à quel genre de question vous attendre. Ces exemples viennent de chapitres que vous ne verrez que plus tard, mais l'habitude de regarder les notations se prend dès le premier DS.

À noter

N'abusez pas de cette lecture. Un sujet de concours peut très bien appeler $J$ une matrice qui n'a rien à voir avec la matrice $J$ habituelle, et l'élève qui suit son habitude sans lire la définition y perd du temps. La définition donnée par l'énoncé l'emporte toujours.

Quand renoncer à une question ?

Il n'existe pas de règle absolue, et cela s'apprend surtout avec l'expérience. Deux critères aident pour autant à décider. Une question mineure, qui rapporte peu de points et dont le résultat ne sert pas ensuite, peut être abandonnée si elle vous résiste. À l'inverse, une question dont dépendent les suivantes, ou qui semble importante pour la suite du problème, mérite que vous persévériez.

Si vous n'aboutissez pas, écrivez tout de même votre piste. En effet, un DS valorise le raisonnement, et une piste réfléchie peut rapporter des points même sans résultat final.

Comment rédiger ?

La grande différence avec le lycée tient à la rédaction : en prépa, la démonstration compte souvent plus que le résultat final. Les correcteurs regrettent d'ailleurs souvent des rédactions peu convaincantes.

Il s'agit d'être à la fois précis et concis. Précis, c'est-à-dire que toutes les hypothèses du théorème utilisé sont citées, ce qui n'est possible que si vous connaissez parfaitement votre cours. Concis, parce qu'à trop en écrire vous risquez de perdre un temps précieux pour les questions suivantes.

Écrivez en français correct, avec des phrases complètes. Vous pouvez employer le « nous » (« nous en déduisons que… »), qui associe le correcteur au raisonnement et montre que vous maîtrisez ce que vous écrivez. Pour progresser, le plus simple est de lire de bonnes rédactions, c'est-à-dire les corrigés et les copies de camarades qui réussissent.

Prenez enfin dès maintenant l'habitude de rendre des copies propres, où les résultats sont encadrés, et sans fautes d'orthographe. C'est un détail que votre correcteur saura apprécier.

Que faire une fois la copie rendue ?

La première note est souvent décevante

Être déçu par ses premières notes arrive à presque tous les élèves de première année, et ce pour trois raisons. D'abord, une classe de lycée mélange les niveaux, alors qu'une classe de prépa regroupe les meilleurs élèves de chaque lycée : le classement se refait donc forcément. Ensuite, les professeurs de prépa vont vite, car ils s'adressent à des élèves qui ont déjà un bon niveau. Enfin, vous ne préparez plus un examen mais des concours, où vous êtes noté par rapport aux autres candidats. S'adapter à tout cela prend du temps.

Dès lors, mieux vaut voir le premier DS comme un premier essai sur un exercice que vous ne connaissiez pas encore, et non comme un échec.

Reprendre sa copie

Vous aurez sans doute envie d'oublier la note et les remarques dans la marge, pourtant c'est en les regardant en face que vous progresserez. À chaque DS, reprenez la correction et analysez vos erreurs une par une, en distinguant les erreurs de cours, les erreurs de calcul et les erreurs de raisonnement. Vous pouvez noter dans un carnet les erreurs commises et les notions que vous avez tendance à oublier, afin de ne pas les refaire.

Cela prend du temps, mais ce temps n'est vraiment pas perdu. Si un point reste obscur, demandez à votre professeur (ou à un camarade qui a compris) de vous le réexpliquer. Votre professeur a l'expérience qu'il faut pour voir rapidement ce qui vous ferait progresser.

Pour conclure

Vous l'aurez compris, un premier DS de maths se prépare avant tout par un cours su par cœur et par les exercices de la classe refaits avec soin. Pendant l'épreuve, parcourez le sujet avant de choisir par où commencer, lisez les notations, et gardez votre temps pour les questions dont dépend la suite, en rédigeant de façon précise et concise. Quant à la note, ne vous y arrêtez pas et reprenez votre copie corrigée, erreur par erreur !

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