Le programme de maths en première année d'ECG
En prépa ECG, les mathématiques occupent une place centrale. Leur volume horaire est important, leurs coefficients aux concours sont élevés et leur travail rythme une grande partie de la semaine, aussi bien en maths appliquées qu’en maths approfondies.
Si vous entrez en première année, vous trouverez ici les chapitres étudiés au cours des quatre semestres de prépa. Si vous êtes encore au lycée, certains intitulés vous sembleront sans doute obscurs. C’est normal : l’objectif est de vous donner une idée de l’étendue du programme et de sa progression.
Maths appliquées ou maths approfondies ?
Les maths appliquées privilégient généralement des objets plus concrets et accordent une place importante aux probabilités, aux statistiques, aux graphes et à l’informatique. Elles restent exigeantes : leur programme est dense et les mathématiques conservent des coefficients élevés aux concours.
Les maths approfondies sont plus abstraites et demandent davantage d’aisance dans le raisonnement et le calcul. Elles conviennent surtout aux élèves qui apprécient les mathématiques et disposent de bases solides à la fin du lycée. Il est néanmoins possible de choisir cette option après avoir suivi maths complémentaires, même si la transition demande alors un travail particulièrement sérieux.
Les deux programmes abordent plusieurs thèmes communs, comme les séries, l’intégration ou les fonctions de plusieurs variables. La différence tient surtout au niveau d’abstraction, à la profondeur des résultats étudiés et à la place accordée à l’informatique.
Premier semestre : construire les bases
Le premier semestre assure la transition entre le lycée et la prépa. Les professeurs reprennent généralement les notions essentielles de terminale avant d’introduire les méthodes et les objets propres au supérieur.
Cette période compte particulièrement pour les élèves qui n’ont pas suivi les enseignements de mathématiques les plus exigeants au lycée. Le bulletin officiel précise que le premier semestre rassemble « les notions nécessaires et les objets de base qui serviront d’appui à la suite du cours ».
En maths appliquées
- Raisonnement et vocabulaire ensembliste : éléments de logique, raisonnement par récurrence, ensembles et applications.
- Calcul matriciel et systèmes linéaires : manipulation de matrices et résolution de systèmes.
- Théorie des graphes.
- Suites de nombres réels : propriétés générales, suites usuelles, convergence et comportement asymptotique.
- Fonctions réelles d’une variable réelle : fonctions usuelles, limites, continuité, étude sur un intervalle et représentation graphique.
- Probabilités et statistiques : statistiques univariées, événements, coefficients binomiaux, probabilités conditionnelles et indépendance.
- Informatique : algorithmique des listes, statistique descriptive, analyse de données et approximation numérique.
En maths approfondies
- Raisonnement et vocabulaire ensembliste : logique, récurrence, calcul de sommes et de produits, ensembles et applications.
- Polynômes.
- Algèbre linéaire : matrices, systèmes linéaires, premières notions d’espaces vectoriels et de sous-espaces vectoriels.
- Suites de nombres réels : propriétés de , exemples de suites et convergence.
- Fonctions réelles d’une variable réelle : limites, continuité, étude globale, dérivation et intégration sur un segment.
- Probabilités sur un ensemble fini : notions générales, variables aléatoires réelles finies et lois usuelles.
Deuxième semestre : entrer dans le programme de prépa
Le deuxième semestre s’éloigne davantage du programme du lycée.
En maths appliquées, vous découvrez notamment les espaces vectoriels et les séries, tout en approfondissant le calcul intégral. En maths approfondies, vous étudiez les séries, les formules de Taylor et les développements limités.
En maths appliquées
- Algèbre linéaire : espace , sous-espaces vectoriels et applications linéaires.
- Calcul différentiel et intégral : dérivation, équations différentielles linéaires à coefficients constants et intégration sur un segment.
- Séries numériques : premières définitions et étude des séries usuelles.
- Probabilités et variables aléatoires réelles : espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes et lois usuelles.
- Informatique : graphes finis, recherche de plus courts chemins, simulation de phénomènes aléatoires et programmation en Python.
La partie Python comprend notamment les types de base, les structures de contrôle, les listes ainsi que l’utilisation de modules et de bibliothèques.
En maths approfondies
- Algèbre linéaire : espaces vectoriels de dimension finie et applications linéaires.
- Analyse : comportement asymptotique des suites, comparaison de fonctions au voisinage d’un point, séries numériques, intégration sur un intervalle quelconque, dérivées successives, formules de Taylor et développements limités.
- Étude des fonctions : extrema, convexité et graphes.
- Probabilités sur un ensemble quelconque : espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes, lois usuelles, couples de variables aléatoires, convergences et approximations.
- Informatique : programmation d’algorithmes et de fonctions, commandes de base en Python, représentations graphiques et calcul de valeurs approchées.
Que fait-on en deuxième année ?
Le programme de deuxième année prolonge directement celui de première année. Selon le bulletin officiel, il permet d’en « consolider les acquis » et prépare aux enseignements de mathématiques, d’économie et de gestion suivis en grande école ou en troisième année de licence.
En maths appliquées
Le troisième semestre poursuit l’algèbre linéaire jusqu’à la réduction des matrices carrées. En analyse, vous abordez les systèmes différentiels et l’intégration sur un intervalle quelconque. Le programme de probabilités introduit les couples et les suites de variables aléatoires discrètes.
Le quatrième semestre se concentre principalement sur :
- les chaînes de Markov ;
- les variables aléatoires à densité ;
- l’estimation statistique ;
- les fonctions de deux variables.
En maths approfondies
Le troisième semestre porte sur l’algèbre linéaire et bilinéaire, les fonctions définies sur et les variables aléatoires à densité.
Au quatrième semestre, vous poursuivez l’algèbre bilinéaire avec les endomorphismes et les matrices symétriques, ainsi que la projection orthogonale. Vous étudiez également la recherche d’extrema pour les fonctions de plusieurs variables, puis les convergences probabilistes et l’estimation.
Un dernier semestre particulièrement court
Le quatrième semestre passe très vite. Les concours commencent tôt dans l’année, ce qui laisse peu de temps pour terminer le programme, consolider les chapitres précédents et s’entraîner sur des sujets complets.
La régularité acquise pendant les trois premiers semestres devient alors déterminante.